Question

8．已知雙曲線x²-$\frac{y^2}{2}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在直線l：$\sqrt{3}$x-2y+6=0上，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，$\frac{{|{P{F_1}}|}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面幾何知識(shí)知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)F₁與F₂，的圓與直線l相切，此時(shí)圓心在y軸上，求出A，B的坐標(biāo)，利用△BPF₁∽△BF₂P，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)平面幾何知識(shí)知，當(dāng)∠F₁PF₂取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)F₁與F₂，的圓與直線l相切，此時(shí)圓心在y軸上，設(shè)坐標(biāo)為A（0，y），則
$\sqrt{3+{y}^{2}}$=$\frac{|-2y+6|}{\sqrt{7}}$，可得A（0，-2+$\sqrt{21}$）
在直線l：$\sqrt{3}$x-2y+6=0=0中令y=0得B的坐標(biāo)：
B（-2$\sqrt{3}$，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴$\frac{{|{P{F_1}}|}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\frac{PB}{B{F}_{2}}$=$\frac{9}{3\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形相似的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．