已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,則棱與底面垂直,如圖所示,D是棱CC1的中點,且∠ACB=90°,BC=1,AC=
3
,AA1=
6

(Ⅰ)證明:A1D⊥平面AB1C1
(Ⅱ)求二面角B-AB1-C1的余弦值.
(Ⅰ)證明:∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,
∴BC⊥CC1
∵AC∩CC1=C,
∴BC⊥平面ACC1A1
∵A1D?平面ACC1A1,∴BC⊥A1D,
而BCB1C1,則B1C1⊥A1D.
在Rt△ACC1與Rt△DC1A1中,
AC
CC1
=
DC1
AC1
=
2
2
,∴△ACC1~△DC1A1,
∴∠AC1C=∠DA1C1,
∴∠AC1C+∠C1DA1=90°.即A1D⊥AC1
∵B1C1∩AC1=C1
∴A1D⊥平面AB1C1;
(Ⅱ)如圖,設A1D∩AC1=H,過A1作AB1的垂線,垂足為G,連GH,
∵A1D⊥平面AB1C1,∴AB1⊥A1D,∴AB1⊥平面A1GH,
∴∠A1GH為二面角A1-AB1-C1的平面角.
在Rt△AA1B1中,AA1=
6
,A1B1=2,
∴AB1=
10
,
∴由等面積,可得A1G=
2
15
5
;
在Rt△AA1C1中,AA1=
6
,A1C1=
3
,
∴AC1=3,∴由等面積,可得A1H=
2

∴在Rt△A1GH中,sin∠A1GH=
30
6
,
∴cos∠A1GH=
6
6
,
∴二面角B-AB1-C1的余弦值為-
6
6
練習冊系列答案
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6
,
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2
,SA=SC=2,二面角S-AC-B的余弦值是
3
3
,若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是______.

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1
2
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其中正確命題的序號是(  )
A.①②B.①③C.②③D.①②③

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