Question

平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，連結(jié)AC．

（Ⅰ）求證：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）在△ABD中，利用余弦定理，可得BD，從而可得AB⊥BD，根據(jù)平面ABD⊥平面CBD，可得AB⊥平面CBD，從而可得AB⊥DC；       
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面ABC的法向量

n

=（1，1，0），平面DAC的法向量

m

=（1，0，-1），利用向量的夾角公式，可得二面角B-AC-D平面角的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：在△ABD中，∵AB=2，AD=2

2

，
BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos45°=4，∴BD=2，
∴AD²=AB²+BD²，∴AB⊥BD，
∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD
∴AB⊥平面CBD，
∵DC?平面CBD，
∴AB⊥DC；       
（Ⅱ）解：在四面體ABCD中，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的射線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
設平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

BA

=（0，0，2），

BC

=（-2，2，0），
∴

2z=0 -2x+2y=0

，∴取

n

=（1，1，0）．
同理可得平面DAC的法向量為

m

=（1，0，-1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

∴二面角B-AC-D平面角的大小為60°．

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查面面角，考查利用向量的方法解決面面角問題，確定平面的法向量是關鍵．