已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+sin(2x+
π
2
)．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設x∈[0， 
π
3
]，求f（x）的值域．
分析：（1）利用兩角和的正弦函數(shù)把函數(shù)化簡為f（x）=
2
sin（2x+
π
4
 ），直接求出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
（2）由 x∈[0， 
π
3
]，求出2x+
π
4
 的范圍，進而求出正弦函數(shù)值的范圍，再由解析式求出函數(shù)值域．
解答：解：（1）f(x)=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)
周期T=
2π
2
=π；
令2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ，得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8

所以，單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈Z
（2）若0≤x≤
π
3
，則
π
4
≤2x+
π
4
≤
11π
12
，sin
11π
12
=sin
π
12
=sin(
π
4
-
π
6
)=
6
-
2
4
＜sin
π
4
∴
6
-
2
4
≤sin(2x+
π
4
)≤1，
3
-1
2
≤
2
sin(2x+
π
4
)≤
2

即f（x）的值域為[
3
-1
2
， 
2
]
點評：本題的考點是正弦函數(shù)的單調(diào)性和求定區(qū)間上的值域，需要對解析式進行適當?shù)幕喅烧倚偷暮瘮?shù)，再利用整體思想求解．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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