Question

19．設(shè)橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，過點(diǎn)F₁的直線與橢圓C交于點(diǎn)M，N，若|MF₂|=|F₁F₂|，且|MF₁|=2，|NF₁|=1，則橢圓C的離心率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．直線MN的方程為：my=x+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．2+2c=2a，$\frac{\sqrt{4{c}^{2}-1}}{1}$=$\frac{1}{m}$，直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（b²m²+a²）y²-2b²mcy-b⁴=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其y₁=-2y₂，化簡解出a，c，即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．直線MN的方程為：my=x+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
2+2c=2a，$\frac{\sqrt{4{c}^{2}-1}}{1}$=$\frac{1}{m}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²m²+a²）y²-2b²mcy-b⁴=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2^{2}mc}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-^{4}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁=-2y₂，
化為：8m²c²=b²m²+a²，與$\frac{\sqrt{4{c}^{2}-1}}{1}$=$\frac{1}{m}$，b²=a²-c²，2+2c=2a聯(lián)立解得：a=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{1}{2}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．