Question

【題目】函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（1）當時， 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當時, 在上是增函數(shù)；（iii）當時， 在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見試題分析．

【解析】試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域， 的導數(shù)： ，再分， ， 三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎上，當時，由的單調(diào)性得．同理當時，由的單調(diào)性得．下面再用數(shù)學歸納法證明．

（1）的定義域為．

（1）當時，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)．

（2）當時, 成立當且僅當在上是增函數(shù)．

（iii）當時，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)．

（2）由（1）知，當時， 在是增函數(shù)．當時，，即．又由（1）知，當時， 在上是減函數(shù)；當時，，即．下面用數(shù)學歸納法證明．

（1）當時，由已知，故結(jié)論成立；

（2）假設當時結(jié)論成立，即．當時， ，即當時有，結(jié)論成立．根據(jù)（1）、（2）知對任何結(jié)論都成立．