Question

20．若a，b在區(qū)間（0，1）內(nèi)，則橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與直線l：x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的概率為1-$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與直線l：x+y=1聯(lián)立，利用橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與直線l：x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，確定a，b的關(guān)系，求出相應(yīng)的面積，即可求出概率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與直線l：x+y=1聯(lián)立，可得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
∴b²+a²＞1，
∵a，b在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
∴滿足條件的區(qū)域的面積為1-$\frac{π}{4}$，
又a，b在區(qū)間（0，1）內(nèi)，面積為1，
∴所求的概率為1-$\frac{π}{4}$．
故答案為：1-$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何概型概率的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．