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設定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx，當x=-時，f（x）取得極大值，并且函數y=f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若曲線C對應的解析式為，求曲線過點P（2，4）的切線方程．
【答案】分析：（1）因為函數圖象關于y軸對稱，得到函數是偶函數即f（x）=f（-x），得到b=0然后代入解析式中，又因為當x=-時，f（x）取得極大值得f（-）=，f′（）=0解出a與b得到f（x）的解析式；
（2）設切點為（x，y），表示出切線方程把P（2，4）代入切線方程得切點坐標，代入切線方程即可．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c為偶函數，∴f（x）=f（-x），
∴3ax2-2bx+c=3ax2+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax3+cx
又當x=-時，f（x）取得極大值得
f（-）=，f′（）=0
∴解得，
∴f（x）=x3-x
（2），
設切點為（x，y），則
切線方程為：，
代入點P（2，4）化簡得：x3-3x2+4=0，解得x=-1，2，
所以切線方程為：x-y+2=0和4x-y-4=0．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數某點的切線方程的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠
π
2
時，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，0＜f（x）＜1；當x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點個數是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對數的底數，m是常數）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點個數為n，則（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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