在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（ I） 求動點(diǎn)Q的軌跡的方程C；
（ II） 設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動時弦長|TS|是否為定值？請說明理由．
【答案】分析：（ I） 判斷動點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到拋物線的方程；
（ II）M到y(tǒng)軸的距離為d=|x|=x，求出圓的半徑，即可表示出弦長|TS|，利用M（x，y）∈C，即可得到結(jié)論．
解答：解：（ I） 依題意知，直線l的方程為：．…（2分）
∵點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．…（4分）
∴|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離．
∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|．…（6分）
故動點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為：y2=2x（x＞0）．…（8分）
（ II）?M（x，y）∈C，M到y(tǒng)軸的距離為d=|x|=x，…（9分）
圓的半徑，…（10分）
則，M（x，y）∈C…（12分）
由（ I）知，
所以，是定值．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查軌跡方程，考查圓中弦長的求解，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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