精英家教網(wǎng)如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,CD=6,AD=3,E為CD上一點(diǎn),且DE=4,過(guò)E作EF∥AD交BC于F現(xiàn)將△CEF沿EF折起到△PEF,使∠PED=60°,如圖2.
(Ⅰ)求證:PE⊥平面ADP;
(Ⅱ)求異面直線BD與PF所成角的余弦值;
(Ⅲ)在線段PF上是否存在一點(diǎn)M,使DM與平在ADP所成的角為30°?若存在,確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件及圖形知,本題可采用兩種方法求解,
法一,證明AD⊥PE,PE⊥PD,再利用線面垂直的判定定理證明即可;
法二,用向量法,建立如圖的坐標(biāo)系,根據(jù)題設(shè)條件寫出各點(diǎn)的坐標(biāo),易得直線PE的方向向量與面內(nèi)兩直線AD,PD的方向向量,用數(shù)量積證明即可;
(Ⅱ)本題用向量法比較方便,借助(I)中的坐標(biāo)系,易得兩異面直線的方向向量,用數(shù)量積求兩異面直線的夾角的余弦值或其補(bǔ)角的余弦值;
(Ⅲ)先假定存在,設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),由線面垂直的條件尋求滿足題意的條件,根據(jù)DM與平在ADP所成的角為30°,建立方程求參數(shù),為了解答本題,需要求出平面的法向量與直線DM的方向向量.然后利用相關(guān)規(guī)則求夾角的余弦,令其值等于sin30°,建立方程求參數(shù),若能求出符合條件的參數(shù),則說(shuō)明存在,否則,說(shuō)明不存在.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)解法一:∵DE=4,PE=2,∠PED=60°,由弦定理得PD=2
3

∵PD2+PE2=16=DE2,∴PE⊥PD.∵EF⊥PE,EF⊥DE∴,EF⊥平面PDE,又∵EF∥AD,∴AD⊥平面PDE,∴AD⊥PE,又∵直線AD,PD在平面APD內(nèi),且相交于D,∴PE⊥平面APD.
解法二:EF⊥PE,EF⊥DE∴,EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸,以DE所在的直線為y軸,在平面DPE內(nèi)過(guò)D作DE的垂線,以垂線所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
則D(0,0,0),A(3,0,0),P(0,3,
3
),E(0,4,0)
DA
=(3,0,0),
DP
=(0,3,
3
),
EP
=(0,-1,
3
).∵
DA
EP
=0,
DP
EP
=0,∴
DA
EP
DP
EP
∴DA⊥EP,DP⊥EP,∵DA,DP是平面ADP內(nèi)的相交直線,∴PE⊥平面APD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥平面PDE,∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直線為 x軸,以DE所在的直線為y軸,在平面DPE內(nèi)過(guò)D作DE的垂線,以垂線所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
則D(0,0,0),A(3,0,0),P(0,3,
3
),E(0,4,0),F(xiàn)(
3
2
,4,0),B(3,2,0),∴
DB
=(3,2,0),
PF
=(
3
2
,1,-
3

cos<
DB
,
PF
> =
DB
• 
PF
|
DB
|×| 
PF
|
=
13
5

設(shè)BD與PF所成的角為θ,則θ=
DB
,
PF
,∴cosθ=
13
5

(Ⅲ)由(Ⅱ)知
EP
=(0,-1,
3
).
PF
=(
3
2
,1,-
3

∵PE⊥平面ADP,∴平面ADP的法向量為
n
=
EP
=(0,-1,
3
).
設(shè)M是線段PF上一點(diǎn),則存在0≤λ≤1,
使
PM
PF
DM
=
DP
+
PM
═(0,3,
3
)+λ(
3
2
,1,-
3
)=(
3
2
λ
,λ+3,-
3
λ+3

.cos<
n
,
DM
=
n
DM
|
n
|×|
DM
|
=
25λ2+48
,如果直線DM與平面ADC所成的角為30°,
那么|cos<
n
,
DM
|=sin30°,即
25λ2+48
=±
1
2
解得λ2=
16
13

∵此方程在[0,1]內(nèi)無(wú)解,
∴在線段PF上不存在一點(diǎn)M,使DM與平在ADP所成的角為30°.
點(diǎn)評(píng):本題考查用向量法證明線面垂直,求兩異面直線所成的角,驗(yàn)證是否存在一點(diǎn)M使得DM與平在ADP所成的角為30°的問(wèn)題,用向量法解決此類問(wèn)題大大降低了解題難度,是解此類題的一個(gè)優(yōu)先扶把思路.
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如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M為線段AB的中點(diǎn).將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-M的余弦值.
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(Ⅰ)求證:平面EFH∥平面PBC;
(Ⅱ)求直線HE與平面PHB所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PA上是否存在一點(diǎn)M,使得M到P,H,A,F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2013•韶關(guān)二模)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=
12
AB=2
,點(diǎn)E為AC中點(diǎn),將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖2所示.
(1)求證:DA⊥BC;
(2)在CD上找一點(diǎn)F,使AD∥平面EFB;
(3)求點(diǎn)A到平面BCD的距離.

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