Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+2+a_n=2a_n+1，且a₁=1，a₂=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d=3，可得所求通項(xiàng)公式；
（2）求得$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）由a_n+2+a_n=2a_n+1，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由a₂=4，即a₁+d=4，解得d=3，
則a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）證明：$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$，
則${S_n}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}=1-\frac{1}{3n+1}$，
由$\frac{1}{3n+1}＞0$，可得S_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．