Question

66⁶⁶÷7的余數為

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：由條件利用二項式定理，把66⁶⁶÷7的余數化為3⁶⁶除以7的余數，再化為2³³=（1+7）¹¹ 除以7的余數，由此根據二項式定理把它展開，從而求得它除以7的余數．

解答： 解：∵66⁶ =（3+63）⁶⁶=

C

0 66

3⁶⁶+

C

1 66

•365•63+

C

2 66

•3³⁴•63²+…+

C

66 66

•63⁶⁶，
由于展開式除了第一項外，其余的項都能倍7整除，故 66⁶⁶÷7的余數，就是展開式的第一項除以7的余數，即3⁶⁶除以7的余數．
又3⁶⁶=9³³=（2+7）³³=

C

0 33

2³³+

C

1 33

•2³²•7+

C

2 33

•2³¹•7²+…+

C

33 33

•7³³，在此展開式中，除了第一項外，其余的項都能倍7整除，
故3⁶⁶除以7的余數就是2³³除以7的余數．
又2³³=（1+7）¹¹=

C

0 11

+

C

1 11

•7+

C

2 11

•7²+…+

C

11 11

•7¹¹，在此展開式中，除了第一項外，其余的項都能倍7整除，
故2³³除以7的余數就是展開式的第一項

C

0 11

=1，
故答案為：1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．