Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsinx（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂            ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-]上是增函數(shù)；     ④f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；
⑤當(dāng)x∈[-時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇-]．
其中正確的命題為（ ）
A．①②④
B．③④⑤
C．②③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意把函數(shù)化簡(jiǎn)為f（x）=sin2x，①可以舉例判斷其實(shí)錯(cuò)誤的．②根據(jù)周期公式可得函數(shù)周期為π．③求出函數(shù)的所以單調(diào)增區(qū)間即可得到③正確．④求出函數(shù)的所有對(duì)稱軸可驗(yàn)證得④正確．⑤根據(jù)題意求出2x∈[]，所以sin2x∈[]，進(jìn)而求出函數(shù)的值域，即可得到⑤錯(cuò)誤．
解答：解：由題意可得：f（x）=cosxsinx=sin2x，
①f（）=-f（），但是不滿足x₁=-x₂，所以①錯(cuò)誤．
②根據(jù)周期公式可得：f（x）=sin2x的周期為π．所以②錯(cuò)誤．
③f（x）=sin2x的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，（k∈Z），顯然③正確．
④f（x）=sin2x的所有對(duì)稱軸為x=，顯然④正確．
⑤f（x）=sin2x，因?yàn)閤∈∈[-]時(shí)，所以2x∈[]，所以sin2x∈[]，所以f（x）的值域?yàn)閇]．所以⑤錯(cuò)誤．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，對(duì)稱性等）．