Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2，0)和圓C：x²+y²=1，動(dòng)點(diǎn)MC的切線(xiàn)長(zhǎng)與的比等于常數(shù)λ(λ>0)(如圖)．求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)．

 

Answer 1

答案：
解析：

設(shè)圓P的圓心角為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為．由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90º，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為．故，得r2=2b2     又圓P被y軸所截得的弦長(zhǎng)為2，由勾股定理得     r2=a2+1，得2b2－a2=1     又因?yàn)?i>P(a，b)到直線(xiàn)x－2y=0的距離為，得，即有a－2b=±1．     綜前述得     解得于是r2=2b2=2所求圓的方程是 (x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2． 設(shè)所求點(diǎn)M：M（x,y）,M到圓C的切線(xiàn)長(zhǎng)度為： 　　　　　　　　　　M與點(diǎn)Q的連線(xiàn)長(zhǎng)度為： 二者之比為λ(λ>0)，即： 　　　　　　　　　　　 討論： 　　　當(dāng)時(shí)，，軌跡為與x垂直的一條直線(xiàn) 　　　當(dāng)時(shí)，，軌跡為一個(gè)圓 　　　當(dāng)時(shí)，，軌跡也為一個(gè)圓