【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

【答案】(1) ;.(2) 或.

【解析】

（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)參數(shù)分別為，直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，得，根據(jù)，得，分類討論，即可求解.

（1）曲線參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，得，

∴曲線的普通方程，

又由曲線的極坐標(biāo)方程為，∴，

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入得，

整理得，即曲線的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)參數(shù)分別為，，

將代入，得，

要使與有兩個不同的交點(diǎn)，則，即，

由韋達(dá)定理有，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，，

又由，可得，即或，

∴當(dāng)時，有，符合題意.

當(dāng)時，有，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或.

練習(xí)冊系列答案
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（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，實(shí)數(shù)），曲線

（為參數(shù)，實(shí)數(shù)）. 在以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn). 當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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(2)設(shè)、分別是橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于M，N為線段PM的中點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)D，E為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

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