Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₁₀等于（　�。�

• A． 63
• B． 93
• C． 126
• D． 1023

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N，n=1時(shí)得a₂=2．n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等比數(shù)列，公比為2．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N，
∴n=1時(shí)，1×a₂=2，解得a₂=2．
n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴a_n+1=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等比數(shù)列，公比為2．
∴S₁₀=（1+2+2²+2³+2⁴）+（2+2²+…+2⁵）
=$\frac{{2}^{5}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{5}-1）}{2-1}$
=3×（2⁵-1）
=93．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．