Question

【題目】設x∈R，f（x）= ，若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】k≥2
【解析】解：∵f（x）= ，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
且函數(shù)f（2x）在區(qū)間（﹣∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根據函數(shù)單調性的性質可得F（x）=f（x）+f（2x）在區(qū)間（﹣∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
故當x=0時，函數(shù)F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，
則實數(shù)k的取值范圍是k≥2
所以答案是：k≥2
【考點精析】根據題目的已知條件，利用指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握0<a<1時:在定義域上是單調減函數(shù);a>1時:在定義域上是單調增函數(shù)．