【題目】已知函數,.
(1)若函數在其定義域上為單調增函數,求的取值范圍;
(2)記的導函數為,當時,證明:存在極小值點,且.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】分析:(1)函數在上為單調增函數,等價于對任意恒成立,對任意恒成立,只需,,利用導數研究函數的單調性,利用單調性求出函數最大值,從而可得結果;(2)由(1)得,其中,,,
∵,∴與同號,令,,存在,使得,是的極小值點,.
詳解:(1)依題意函數的定義域為且函數在上為單調增函數,
所以 對任意恒成立,
∴對任意恒成立,
∴對任意恒成立,
∴,,
令,,
∴,
∴當時,,為增函數;當時,,為減函數,
∴當時,,
∴,即的取值范圍是.
(2)由(1)得,其中,,
∴,
∵,∴與同號,
令,,
∴ ,
∴當時,,即函數在上單調遞增,
∵,∴,,
∴存在,使得,
∴當時,,,是減函數,
∴當時,,,是增函數,
∴當時,存在,使是的極小值點.
又由得,
所以,,
所以.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校200名學生的數學期中考試成績頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是,,,,.
(1)求圖中的值;
(2)根據頻率分布直方圖,估計這200名學生的平均分;
(3)若這200名學生的數學成績中,某些分數段的人數與英語成績相應分數段的人數之比如下表所示,求英語成績在的人數.
分數段 | |||||
1:2 | 2:1 | 6:5 | 1:2 | 1:1 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某工廠新研發(fā)了一種產品,該產品每件成本為5元,將該產品按事先擬定的價格進行銷售,得到如下數據:
單價(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求銷量(件)關于單價(元)的線性回歸方程;
(2)若單價定為10元,估計銷量為多少件;
(3)根據銷量關于單價的線性回歸方程,要使利潤最大,應將價格定為多少?
參考公式:,.參考數據:,
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數是老年職工人數的2倍。為了解職工身體狀況,現采用分層抽樣方法進行調查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數為
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知定義在(0,+∞)上的連續(xù)函數y=f(x)滿足:xf′(x)﹣f(x)=xex且f(1)=﹣3,f(2)=0.則函數y=f(x)( )
A.有極小值,無極大值
B.有極大值,無極小值
C.既有極小值又有極大值
D.既無極小值又無極大值
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】小王每天自己開車上班,他在路上所用的時間(分鐘)與道路的擁堵情況有關.小王在一年中隨機記錄了200次上班在路上所用的時間,其頻數統(tǒng)計如下表,用頻率近似代替概率.
(分鐘) | 15 | 20 | 25 | 30 |
頻數(次) | 50 | 50 | 60 | 40 |
(Ⅰ)求小王上班在路上所用時間的數學期望;
(Ⅱ)若小王一周上班5天,每天的道路擁堵情況彼此獨立,設一周內上班在路上所用時間不超過的天數為,求的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知A(x0 , 0),B(0,y0)兩點分別在x軸和y軸上運動,且|AB|=1,若動點P(x,y)滿足 .
(1)求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程;
(2)一條縱截距為2的直線l1與曲線C交于P,Q兩點,若以PQ直徑的圓恰過原點,求出直線方程;
(3)直線l2:x=ty+1與曲線C交于A、B兩點,E(1,0),試問:當t變化時,是否存在一直線l2 , 使△ABE的面積為 ?若存在,求出直線l2的方程;若不存在,說明理由.
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