已知函數(shù)在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0<x1<1<x2<2.
(1)證明a>0;(2)若z=a+2b,求z的取值范圍.
【答案】分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)在x=x1和x=x2取得極值得到:x1,x2是導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根.表示出導(dǎo)函數(shù),因?yàn)閤<x1函數(shù)為增函數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)大于0,根據(jù)不等式取解集的方法即可得到a的范圍;
(2)由0<x1<1<x2<2得到導(dǎo)函數(shù)在x=0、2時(shí)大于0,導(dǎo)函數(shù)在x=1時(shí)小于0,得到如圖所示的三角形ABC,求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到相應(yīng)的z值,得到z的取值范圍即可.
解答:解:求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ax2-2bx+2-b.
(1)由函數(shù)f(x)在x=x1處取得極大值,
在x=x2處取得極小值,知x1,x2是f'(x)=0的兩個(gè)根.
所以f'(x)=a(x-x1)(x-x2
當(dāng)x<x1時(shí),f(x)為增函數(shù),f'(x)>0,
由x-x1<0,x-x2<0,得a>0.
(2)在題設(shè)下,0<x1<1<x2<2等價(jià)于,

化簡(jiǎn)得
此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上三條直線(xiàn):2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0.
所圍成的△ABC的內(nèi)部,其三個(gè)頂點(diǎn)分別為:
z在這三點(diǎn)的值依次為
所以z的取值范圍為
點(diǎn)評(píng):本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,會(huì)利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃.在解題時(shí)學(xué)生應(yīng)注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.
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已知函數(shù)在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(t,2t+1)上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a,若對(duì)于任意的x1∈R,總存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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