已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},滿足:a1=3,且
2an+1-an
2an-an+1
=anan+1
,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設Sn=a12+a22+…+an2,Tn=
1
a21
+
1
a22
+…+a
1
a2n
,求Sn+Tn,并確定最小正整數(shù)n,使Sn+Tn為整數(shù).
(1)條件可化為an+1-
1
an+1
=2(an-
1
an
)

因此{an-
1
an
}為一個等比數(shù)列,其公比為2,首項為a1-
1
a1
=
8
3

所以an-
1
an
=
8
3
×2n-1=
2n+2
3
(n∈N*)

因an>0,由1°式解出an=
1
3
(2n+1+
22n+2+9
)

(2)由1°式有Sn+Tn=(a1-
1
a1
)2+(a2-
1
a2
)2+…+(an-
1
an
)2+2n

=(
23
3
)2+(
24
3
)2+(
25
3
)2++(
2n+2
3
)2+2n

=
64
27
(4n-1)+2n(n∈N*)

為使Sn+Tn=
64
27
(4n-1)+2n(n∈N*)
為整數(shù),
當且僅當
4n-1
27
為整數(shù).
當n=1,2時,顯然Sn+Tn不為整數(shù),
當n33時,4n-1=(1+3)n-1=Cn1×3+Cn2×32+33(Cn3++3n-3Cnn
∴只需
3
C1n
+32
C2n
27
=
n
9
3n-1
2
為整數(shù),
因為3n-1與3互質(zhì),
所以為9的整數(shù)倍.
當n=9時,
n
9
3n-1
2
=13為整數(shù),
故n的最小值為9.
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Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
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的大小,并加以證明.

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2log2bn-1
的大小,并加以證明.

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