Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）若函數(shù)有兩個零點，求a的范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

（1）當時，求導(dǎo)得出，令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0，即可求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）求導(dǎo)得，，分類討論當和時，利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求出函數(shù)的極值；

（3）由（2）可知當時，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；當時，函數(shù)有極大值，令，，，求出的單調(diào)區(qū)間和最小值，則根據(jù)題意討論當和當時存在另外一個零點，構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合分類討論思想，即可求出函數(shù)有兩個零點時，求a的范圍.

（1），.

由得，由得.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2），，

當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；

當時，，，在上單調(diào)遞增；

，，在上單調(diào)遞減；

函數(shù)有極大值，無極小值.

（3）由（2）可知當時，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；

當時，函數(shù)有極大值，

令，，，

，，在上單調(diào)遞減；

在上單調(diào)遞增；

函數(shù)有最小值.

要使函數(shù)有兩個零點，必須滿足且，

下面證明：且時，函數(shù)有兩個零點.

因為，所以下面證明還有另一個零點.

①當時，，

，

令，，

在上單調(diào)遞減，，則，

所以在上有零點，又在上單調(diào)遞減，

所以在上有唯一零點，從而有兩個零點.

②當時，，，

易證，可得，

所以在上有零點，又在上單調(diào)遞減，

所以在在上有唯一零點，從而有兩個零點.

綜上，a的取值范圍是.