Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C對(duì)邊分別為a、b、c，已知tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且最長邊為

5

．
（1）求角A；（2）求△ABC最短邊的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tanB和tanC的值判斷出A為鈍角，根據(jù)tanB求得sinB和cosB；根據(jù)tanC求得sinC和cosC，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的兩角和公式求得cosA，進(jìn)而求得A．
（2）根據(jù)三個(gè)角的大小判斷出c邊最短，a邊最長，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得c．

解答：解：（1）∵tanB=

1

2

＜1
∴B＜45°，同理，C＜45°，
∴B+C＜90°，
∴A為鈍角．
又tanB=

1

2

，
∴sinB=

1

5

，cosB=

2

5

；tanC=

1

3

，
∴sinC=

1

10

，cosC=

3

10

．
∴cosA=-cos(B+C)=-[cosBcosC-sinBsinC]=

1

5

•

1

10

-

2

5

•

3

10

=-

2

2

，
∴A=135°．
（2）∵C＜B＜A，
∴△ABC中最短邊為c，最長邊為a=

5

．
又

c

sinC

=

a

sinA

，

c

1 10

=

5

2 2

，
∴c=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系和正弦定理的應(yīng)用．在處理三角形的角三角函數(shù)時(shí)，也特別留意函數(shù)值的正負(fù)號(hào)得判斷．