Question

4．設(shè)a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求證：2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$$≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）求證：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}+\frac{^{2}+{a}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}+^{2}}{a}≥2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差法化簡1-2（2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$）=（a+b+c）²-（4ab+2bc+2ca+c²），從而證明；
（Ⅱ）易知$\frac{{a}^{2}}$+b≥2a，$\frac{{c}^{2}}$+b≥2c，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2a，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{^{2}}{a}$+a≥2b；從而證明．

解答 證明：（Ⅰ）∵1-2（2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$）
=（a+b+c）²-（4ab+2bc+2ca+c²）
=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，
∴2（2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$）≤1，
∴2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$$≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵$\frac{{a}^{2}}$+b≥2a，$\frac{{c}^{2}}$+b≥2c，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2a，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{^{2}}{a}$+a≥2b；
∴$\frac{{a}^{2}}$+b+$\frac{{c}^{2}}$+b+$\frac{^{2}}{c}$+c+$\frac{{a}^{2}}{c}$+c+$\frac{{c}^{2}}{a}$+a+$\frac{^{2}}{a}$+a≥4（a+b+c），
即$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{c}$+2（a+b+c）≥4（a+b+c），
故$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{c}$≥2．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明方法的應(yīng)用，應(yīng)用了作差法．