Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜4）．
（Ⅰ）若f（x）的最小值為3，求a值；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥3-x的解集．

Answer 1

（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，
因?yàn)閍＜4，所以當(dāng)且僅當(dāng) a≤x≤4時(shí)等號(hào)成立，故|a-4|=3，即a=1．
（2）不等式f（x）≥3-x，即不等式|x-4|+|x-a|≥3-x，a＜4，
①當(dāng)x＜a時(shí)，原不等式可化為 4-x+a-x≥3-x，x≤a+1．
所以，當(dāng)x＜a時(shí)，原不等式成立．
②當(dāng)a≤x≤4時(shí)，原不等式可化為4-x+x-a≥3-x，
即x≥a-1，所以，當(dāng)a≤x≤4時(shí)，原不等式成立．
③當(dāng)x＞4時(shí)，原不等式可化為 x-4+x-a≥3-x，
即x≥

a+7

3

由于a＜4時(shí) 4＞

a+7

3

．
所以，當(dāng)x＞4時(shí)，原不等式成立．
綜合①②③可知：不等式f（x）≥3-x的解集為R．