Question

已知y=log₄（2x+3-x²）．
（1）求定義域；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求y的最大值，并求取得最大值的x值．

Answer 1

解：（1）由真數(shù)2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3．
∴定義域是{x|-1＜x＜3}．
（2）令u=2x+3-x²，則u＞0，y=log₄u．
由于u=2x+3-x²=-（x-1）²+4，
其增區(qū)間是（-1，1]，減區(qū)間是[1，3）．
又y=log₄u在u∈（0，+∞）上是增函數(shù)，
故該函數(shù)的增區(qū)間是（-1，1]，減區(qū)間是[1，3）．
（3）∵u=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，
∴y=log₄（2x+3-x²）≤log₄4=1．
∴當(dāng)x=1，u取得最大值4時(shí)，y就取得最大值1
分析：（1）由真數(shù)2x+3-x²＞0求解即可．
（2）用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解，先令u=2x+3-x²，且u＞0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)：y=log₄u在定義域上是增函數(shù)，再用二次函數(shù)法研究u的單調(diào)區(qū)間，要考慮到定義域，然后用“同增異減”得到結(jié)果．
（3）先求得u的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得原函數(shù)的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)構(gòu)造的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，研究單調(diào)性時(shí)：依據(jù)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，要注意定義域，研究值域時(shí)：用到了整體思想將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)解決．