Question

設f（x）定義域為R，x＞0時f（x）＞1且對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），
（1）求f（0）；
（2）判斷其單調性并證明．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）為使f（x+y）=f（x）•f（y）中有f（0），由當x＞0時，f（x）＞1．可設x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），結合f（1）＞1可求f（0）
（2）要證明f（x）在R上是增函數，即證明當x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂），當x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0，則f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可證

解答： 解：（1）：設x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）f（x）再其定義域上為增函數．
證明：∵對x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得當x₁＞0時，f（x₁）＞1＞0
當x₁=0時，f（x₁）=1＞0
當x₁＜0時，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故對于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函數f（x）為增函數．

點評：本題主要考查了抽象函數表達式反映函數性質及抽象函數表達式的應用，函數單調性的定義及其證明，轉化化歸的思想方法