Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，直線(xiàn)l：x-my-1=0（m∈R）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)D（

5

2

，0），連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線(xiàn)l₁，設(shè)直線(xiàn)l₁與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)P，試探索當(dāng)m變化時(shí)，是否存在一條定直線(xiàn)l₂，使得點(diǎn)P恒在直線(xiàn)l₂上？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)l₂的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題設(shè)，得

c=1 c a = 1 2

，及b²=a²-c²=3，即可得出．
（2）令m=0，則A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)或者A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)．可得P(4，  

3

2

)或P(4，  -

3

2

)，可知：滿(mǎn)足題意的定直線(xiàn)l₂只能是x=4．
只要證明點(diǎn)P恒在直線(xiàn)x=4上．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y軸，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y₁，從而只要證明P（4，y₁）在直線(xiàn)BD上． 利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式只要證明 k_DB=k_DP．

解答： 解：（1）由題設(shè)，得

c=1 c a = 1 2

，解得

c=1 a=2

從而b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1． 
（2）令m=0，則A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)或者A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)．
當(dāng)A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)時(shí)，P(4，  

3

2

)；當(dāng)A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)時(shí)，P(4，  -

3

2

)，
∴滿(mǎn)足題意的定直線(xiàn)l₂只能是x=4．
下面證明點(diǎn)P恒在直線(xiàn)x=4上．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于PA垂直于y軸，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y₁，從而只要證明P（4，y₁）在直線(xiàn)BD上． 
由

x-my-1=0 ，    x2 4 + y2 3 =1 ，

得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∵△=144（1+m²）＞0，
∴y1+y2=

-6m

4+3m2

，y1y2=

-9

4+3m2

．①
∵kDB-kDP=

y2-0

x2- 5 2

-

y1-0

4- 5 2

=

y2

my2+1- 5 2

-

y1

3 2

=

3 2 y2-y1(my2- 3 2 )

3 2 (my2- 3 2 )

=

y1+y2- 2 3 my1y2

my2- 3 2

，
①式代入上式，得k_DB-k_DP=0，
∴k_DB=k_DP． 
∴點(diǎn)P（4，y₁）恒在直線(xiàn)BD上，從而直線(xiàn)l₁、直線(xiàn)BD與直線(xiàn)l₂：x=4三線(xiàn)恒過(guò)同一點(diǎn)P，
∴存在一條定直線(xiàn)l₂：x=4使得點(diǎn)P恒在直線(xiàn)l₂上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．