【題目】已知（）．

（Ⅰ）判斷當時的單調性；

（Ⅱ）若，（）為兩個極值點，求證：．

【答案】（Ⅰ）在定義域上為單調增函數(shù)；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先利用換元法求出，然后求函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)單調性和導數(shù)的關系進行判斷即可．

（Ⅱ）根據(jù)極值的定義得到有兩個不相等的正實數(shù)根，，利用根與系數(shù)之間的關系進行轉化證明即可．

（Ⅰ）因為（），

所以，（）．，

當時，，恒成立．

于是，在定義域上為單調增函數(shù)．

（Ⅱ）證明：，

由題設知，有兩個不相等的正實數(shù)根，，

則，即，得

而 ，

又，

故欲證原不等式等價于證明不等式：

也就是要證明：對任意，有

令，由于，并且，

當時，，則在上為減函數(shù)；

當時， ，則在上為增函數(shù)．

則在上有最大值，即，故原不等式成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求在點處的切線方程；

（2）當時，證明：；

（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說明有幾條，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，將曲線繞極點順時針旋轉后得到曲線的曲線記為.

（1）求曲線和的極坐標方程；

（2）設和的交點為，，求的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代著名數(shù)學家劉徽的杰作《九章算術注》是中國最寶貴的數(shù)學遺產之一，書中記載了他計算圓周率所用的方法．先作一個半徑為1的單位圓，然后做其內接正六邊形，在此基礎上做出內接正邊形，這樣正多邊形的邊逐漸逼近圓周，從而得到圓周率，這種方法稱為“劉徽割圓術”．現(xiàn)設單位圓的內接正邊形的一邊為，點為劣弧的中點，則是內接正邊形的一邊，現(xiàn)記，，則（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校高三（1）班在一次語文測試結束后，發(fā)現(xiàn)同學們在背誦內容方面失分較為嚴重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學們對站起來大聲誦讀的態(tài)度，對全班50名同學進行調查，將調查結果進行整理后制成下表：

考試分數(shù)

頻數(shù)

5

10

15

5

10

5

贊成人數(shù)

4

6

9

3

6

4

（1）欲使測試優(yōu)秀率為30%，則優(yōu)秀分數(shù)線應定為多少分？

（2）依據(jù)第1問的結果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲誦讀的態(tài)度與考試成績是否優(yōu)秀的關系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關系.

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于某種類型的口服藥，口服小時后，由消化系統(tǒng)進入血液中藥物濃度（單位）與時間小時的關系為，其中，為常數(shù)，對于某一種藥物，，．

（1）口服藥物后______小時血液中藥物濃度最高；

（2）這種藥物服藥小時后血液中藥物濃度如下表

1

2

3

4

5

6

7

8

0.9545

0.9304

0.6932

0.4680

0.3010

0.1892

0.1163

0.072

一個病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個單位以上，第三次服藥時間是______（時間以整點為準）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中“紙”指的是宣紙，“始于唐代，產于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙，宣紙按質量等級分類可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品）某公司生產的宣紙為純手工制作，年產宣紙10000刀，該公司按照某種質量指標x給宣紙確定質量等級，如下表所示：

x的范圍

質量等級

正牌

副牌

廢品

公司在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤為12元，副牌宣紙的利潤為6元，廢品宣紙的利潤為-12元.

（1）試估計該公司生產宣紙的利潤；

（2）該公司預備購買一種售價為100萬元的機器改進生產工藝，這種機器使用壽命為一年，不影響產量，這種機器生產的宣紙的質量指標x服從正態(tài)分布，改進工藝后正牌和副牌宣紙的利潤都將受到不同程度的影響，觀測的數(shù)據(jù)如下表所示：

x的范圍

一張宣紙的利潤

12

8

8

3

頻率

0.5

0.5

0.5

0.5

將頻率視為概率，請判斷該公司是否應該購買這種機器，并說明理由.

附：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為進一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠離外賣，健康飲食”的口號．當然，也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求．在學期末，校學生會為了調研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分數(shù)的頻率分布直方圖和B部分數(shù)的頻數(shù)分布表．

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

7

18

21

24

70

60

定義：學生對食堂的“滿意度指數(shù)”

分數(shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；

（2）A部為進一步改善經營，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談，再從這8人中隨機抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實踐活動，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據(jù)調研結果評選學生放心餐廳，應該評選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于無窮數(shù)列，，記，，若同時滿足條件①，均單調遞增；②且，則稱，是無窮互補數(shù)列.

（1）若，，試判斷數(shù)列，是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；

（2）若，且，是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列前項的和.

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