Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，都滿足條件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，則a的取值范圍是$1＜a≤\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 若對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，都滿足條件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，則函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$在R上為增函數(shù)，里面可得答案．

解答 解：若對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，都滿足條件$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0（{x_1}≠{x_2}）$成立，
則函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+3a-4，x≤0\\{a^x}，x＞0\end{array}\right.$在R上為增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}a-1＞0\\ a＞1\\ 3a-4≤1\end{array}\right.$，
解得：$1＜a≤\frac{5}{3}$，
故答案為：$1＜a≤\frac{5}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問題，分段函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．