Question

已知以點(diǎn)C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y-1=0相切．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過圓內(nèi)一點(diǎn)P（2，-

5

2

）的最短弦所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由點(diǎn)到直線的距離求出半徑，從而得到圓的方程；
（2）由垂徑定理可得，過P點(diǎn)的最短弦所在直線與過P點(diǎn)的直徑垂直，求出過P點(diǎn)的直徑的斜率，進(jìn)而求出過P點(diǎn)的最短弦所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式，可以得到過P點(diǎn)的最短弦所在直線的方程．

解答： 解：（1）圓的半徑r=

|1-2-1|

2

=

2

，
所以圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2．
（2）圓的圓心坐標(biāo)為C（1，-2），則過P點(diǎn)的直徑所在直線的斜率為-

1

2

，
由于過P點(diǎn)的最短弦所在直線與過P點(diǎn)的直徑垂直
∴過P點(diǎn)的最短弦所在直線的斜率為2，
∴過P點(diǎn)的最短弦所在直線的方程y+

5

2

=2（x-2），即4x-2y-13=0．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．由垂徑定理，判斷出過P點(diǎn)的最短弦所在直線與過P點(diǎn)的直徑垂直是解答本題的關(guān)鍵．