Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個極值點， ，且，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）．（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求得函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合判別式判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的取值范圍；（Ⅱ）首先將問題轉(zhuǎn)化為有兩個不等的實根， ，由此得到的范圍，從而得到， 的范圍，然后根據(jù)的表達(dá)式構(gòu)造新函數(shù)，由此通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性使問題得證．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

由題意，

．

①若，即，則恒成立，

則在上為單調(diào)減函數(shù)；

②若，即，方程的兩根為， ，當(dāng)時， ，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時， ，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意．

綜上，若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為．

（Ⅱ）因為函數(shù)有兩個極值點，所以在上有兩個不等的實根，

即在有兩個不等的實根， ，

于是， 且滿足， ，

，

同理可得．

，

令， ．

， ，

∵，∴，

又時， ，∴，則在上單調(diào)遞增，

所以，即，得證．