如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：=1，直線(xiàn)=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)l與圓O恒相交；并求直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．
解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，
由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a-c，
∴a+c=5（a-c），得2a=3c.①
由題意CF⊥AB，設(shè) 點(diǎn)C坐標(biāo)（c，y），C在M上，
代入得
∴．
由△ABC的面積為5，得，=5②
由①②得a=3， c=2.
∴=9-4=5．
∴所求橢圓M的方程為：．
(Ⅱ) 圓O到直線(xiàn)=1距離d=，
由點(diǎn)P(m,n)在橢圓M上，則，
顯然，
∴1，>1,
∴d =<1，
而圓O的半徑為1，直線(xiàn)l與圓O恒相交．弦長(zhǎng)t=2=2,
由得，
∴, t=2, ，
∴，，
∴ ，
弦長(zhǎng)t的取值范圍是[]．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P．
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（1）若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對(duì)于之前小題的研究結(jié)論，我們可以將其類(lèi)比到橢圓的情形．如圖2，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相互垂直且交于點(diǎn)P．試提出一個(gè)由類(lèi)比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線(xiàn)C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線(xiàn)C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長(zhǎng)為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱(chēng)軸的兩段圓錐曲線(xiàn)弧合成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線(xiàn)l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線(xiàn)弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線(xiàn)為“盾圓E”．設(shè)過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線(xiàn)與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x2+y2=1，直線(xiàn)l：mx+ny=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)l與圓O恒相交；并求直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年江蘇省無(wú)錫市濱湖區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x2+y2=1，直線(xiàn)l：mx+ny=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)l與圓O恒相交；并求直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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