Question

一直線被兩直線l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得線段的中點是P點，當P點分別為（0，0），（0，1）時，求此直線方程．

Answer 1

解：當P點為（0，0）時，設(shè)直線方程為y=kx，
設(shè)該直線與直線l₁交點橫坐標為a，則交點坐標為（a，ka），
代入直線l₁得：4a+ka+6=0①，
由該直線被兩直線l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得線段的中點是（0，0），
根據(jù)中點坐標公式得另一交點為（-a，-ka），代入直線l₂得：3（-a）-5（-ka）-6=0②，
聯(lián)立①②，解得k=-，
所以直線方程為：y=-x即x+6y=0；
當P點為（0，1）時，設(shè)直線方程為y=mx+1，
設(shè)該直線與直線l₁交點橫坐標為b，則交點坐標為（b，mb+1），
代入直線l₁得：4b+mb+7=0③，
由該直線被兩直線l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得線段的中點是（0，1），
根據(jù)中點坐標公式得另一交點為（-b，1-mb），代入直線l₂得：3（-b）-5（1-mb）-6=0④，
聯(lián)立③④，解得m=-，
所以直線方程為：y=-x+1即x+2y-2=0．
綜上，當P點分別為（0，0），（0，1）時，所求直線方程分別為x+6y=0，x+2y-2=0．
分析：當P點坐標為（0，0）時，設(shè)所求直線的方程為y=kx，又設(shè)該直線直線l₁交點橫坐標為a，代入直線方程可得縱坐標為ka，把交點坐標代入直線l₁得到關(guān)于a與k的方程，記作①，然后由P和剛才的交點坐標，利用中點坐標公式表示出另一交點的坐標，把另一交點坐標代入直線l₂得到關(guān)于a與k的另一方程，記作②，聯(lián)立①②，即可求出k的值，得到所求直線的方程；
當P坐標為（0，1）時，同理可得所求直線的方程．
點評：此題考查學(xué)生靈活運用中點坐標公式化簡求值，理解兩直線交點的意義，會利用待定系數(shù)法求直線的解析式，是一道中檔題．