Question

17．函數(shù)$f（x）=1+2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$（0＜ω＜1），若直線x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（1）試求ω的值；
（2）先列表再作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的圖象；并寫出在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的對稱軸，求出ω的關(guān)系式，利用范圍求解ω的值．
（2）通過列表，描點，連線，作出函數(shù)的圖象，求出單調(diào)減區(qū)間即可．

解答 解：（1）f（x）=1+2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）．因為直線x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，所以sin（$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$）=±1．所以$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．------------------（3分）
所以ω=$\frac{3}{2}$k+$\frac{1}{2}$．因為0＜ω＜1，所以$-\frac{1}{3}＜k＜\frac{1}{3}$．又k∈Z，
所以k=0，ω=$\frac{1}{2}$．-----------------------------（6分）
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
列表：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5}{6}$π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7}{6}$π
x	-π	-$\frac{2}{3}$π	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	0	-1	1	3	1	0

-------------------------------------------------------------------（8分）
描點作圖，函數(shù)f（x）在[-π，π]上的圖象如圖所示．
-------------（10分）

單調(diào)遞減區(qū)間$[{-π，-\frac{2π}{3}}]$，$[{\frac{π}{3}，π}]$------------------------------------（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的圖形的畫法，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查計算能力．