Question

已知△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且滿足

a+b

c

=cosA+cosB
（1）判斷△ABC的形狀
（2）求

sinA•sinB

sinA+sinB

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：（1）△ABC中，由條件利用正弦定理化簡可得 cosC（sinA+sinB）=0，故有 cosC=0，C=

π

2

，可得△ABC為直角三角形．
（2）由C=

π

2

，得

sinA•sinB

sinA+sinB

=

sinAcosA

sinA+cosA

，令sinA+coA=t=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，原式=

1

2

（t-

1

t

），再根據(jù)函數(shù)h（t）=

1

2

（t-

1

t

）在（1，

2

]上是增函數(shù)，求得

sinA•sinB

sinA+sinB

的取值范圍．

解答： （1）解：△ABC中，由

a+b

c

=cosA+cosB，利用正弦定理可得

sinA+sinB

sinC

=cosA+cosB，
∴sinA+sinB=sinCcosA+cosBsinC，∴sin（B+C）+sin（A+C）=sinCcosA+cosBsinC．
化簡可得 cosC（sinA+sinB）=0，∴cosC=0，∴C=

π

2

，∴△ABC為直角三角形．
（2）解：∵C=

π

2

，∴sinB=cosA，∴

sinA•sinB

sinA+sinB

=

sinAcosA

sinA+cosA

，
令 sinA+coA=t=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，則 sinAcosA=

t2-1

2

，
所以原式=

1

2

（t-

1

t

），再根據(jù)函數(shù)h（t）=

1

2

（t-

1

t

）在（1，

2

]上是增函數(shù)，故

sinA•sinB

sinA+sinB

的取值范圍是（0，

2

4

]．

點評：本題主要考查正弦定理、誘導公式，利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．