Question

14．設(shè)n∈N^*，求證：$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜1．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用裂項相消求和和放縮法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：由$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（2n）}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$＜1．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用裂項相消和放縮法證明，考查推理和運算能力，屬于中檔題．