Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，且右焦點(diǎn)到直線x-y+2

2

=0的距離為3，一條斜率為k（k≠0）的直線l與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足|

AM

|=|

AN

|，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+y2=1，得右焦點(diǎn)為F（

a2-1

，0），利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題意算出a²=3，從而得到橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．設(shè)直線l方程為：y=kx+b，將其與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出MN的中點(diǎn)為P（

-3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），由MN垂直平分AP建立關(guān)系式算出b=

1+3k2

2

，再代入根的判別式得到關(guān)于k的不等式，解之即可得到所求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：由題意，橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+y2=1（a＞0），右焦點(diǎn)為F（

a2-1

，0）
∵F到直線x-y+2

2

=0的距離為3，
∴d=

| a2-1 -0+2 2 |

2

=3，解之得a²=3，由此可得橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，
由

y=kx+b x2 3 +y2=1

消去y，得（3k²+1）x²+6kbx+3b²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△=64b²k²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，1+3k²-b²＞0…①，
∴x₁+x₂=

-6kb

1+3k2

，可得y₁+y₂=（kx₁+b）+（kx₂+b）=

2b

1+3k2

，
可得MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)（

-3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），
∵|

AM

|=|

AN

|，
∴AP是直線MN的垂直平分線，可得AP⊥MN，由斜率之積為-1，算出b=

1+3k2

2

，
將其代入①并整理可得：（3k²+1）（k²-1）＜0，解之得-1＜k＜1，且k≠0．
綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍為-1＜k＜1，且k≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求參數(shù)k的取值范圍．著重考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．