Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，CB與⊙O相切于B，E為線段CB上一點，連接AC、AE，分別交⊙O于D、G兩點，連接DG交CB于點F．
（Ⅰ）求證：△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）若E為CB的中點，EG=1，GA=3，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，證明∠C=∠EGF，∠DFC=∠EFG，即可證明：△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）利用切割線定理，求線段CD的長．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，則BD⊥AD，
∵CB與⊙O相切于B，∴AB⊥CB，
∴∠C=∠ABD
∵∠AGD=∠ABD=∠EGF，
∴∠C=∠EGF，
∵∠DFC=∠EFG，
∴△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）解：∵EG=1，GA=3，
∴由切割線定理EG•EA=EB²，得EB=2
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵CB=4，
∴AC=2$\sqrt{7}$，
∵CB²=CA•CA，
∴CD=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查四點共圓的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質的靈活運用．