【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,證明當(dāng)時(shí), ;
(3)如果,且,證明: .
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用。
(1)利用導(dǎo)數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到第一問中的單調(diào)區(qū)間和極值問題。
(2)先利用對(duì)稱性求解函數(shù)的解析式,然后構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立,或者利用第一問的結(jié)論,結(jié)合對(duì)稱性得到證明。
(3)由上可知函數(shù)的的單調(diào)性,結(jié)合性質(zhì)可知不等式的證明。
(Ⅰ).令,則.
當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表:
增 | 極大值 | 減 |
所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).
函數(shù)在處取得極大值.且.
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,
所以,于是.
記,則, ,
當(dāng)時(shí), ,從而,又,所以,
于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)時(shí), .因此.
(Ⅲ)(1) 若,由(Ⅰ)及,得,與矛盾;
(2) 若,由(Ⅰ)及,得,與矛盾;
根據(jù)(1),(2)可得.不妨設(shè).
由(Ⅱ)可知,所以.
因?yàn)?/span>,所以,又,由(Ⅰ),在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知美國(guó)蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機(jī)的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元.設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機(jī)x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)=
(1)寫出年利潤(rùn)W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí),蘋果公司在該款iPhone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得在上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=,則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-的所有零點(diǎn)之和為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過雙曲線 =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為l時(shí),直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為3時(shí),直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.(1, )
B.(1, )
C.( , )
D.( , )
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和直線:,設(shè)圓的半徑為1,圓心在直線上.
(Ⅰ)若圓心也在直線上,過點(diǎn)作圓的切線.
(1)求圓的方程;(2)求切線的方程;
(Ⅱ)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線:和圓:.
(1)求證:直線恒過一定點(diǎn);
(2)試求當(dāng)為何值時(shí),直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短;
(3)在(2)的前提下,直線是過點(diǎn),且與直線平行的直線,求圓心在直線上,且與圓相外切的動(dòng)圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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