Question

一個(gè)口袋中有個(gè)白球和個(gè)紅球（，且），每次從袋中摸出兩個(gè)球（每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中），若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)．

(1)試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率；

(2)若，求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；

(3)記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，當(dāng)為何值時(shí)，取最大值.

 

Answer 1

（1），（2） ，(3) .

【解析】

試題分析：（1）求古典概型概率，關(guān)鍵正確計(jì)算事件所包含的基本事件. 一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種選法，其中兩球顏色相同有種選法；因此一次摸球中獎(jiǎng)的概率.（2）因?yàn)槊看蚊�球后把這兩個(gè)球放回袋中，所以事件為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 由（1）得一次摸球中獎(jiǎng)的概率是，所以三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率是 .(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是，這是三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值. 由知在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.

試題解析：(1)一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種選法，

其中兩球顏色相同有種選法；

∴一次摸球中獎(jiǎng)的概率. 4分

(2)若，則一次摸球中獎(jiǎng)的概率是，三次摸球是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是. 8分

(3)設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率是，

則三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是，

∵，

∴在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，取最大值. 10分

由.

∴時(shí)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大． 12分

考點(diǎn)：古典概型概率，獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，利用導(dǎo)數(shù)求最值