Question

（2013•青島二模）一同學(xué)為研究函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x），請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：由題意可得當(dāng)A、P、F共線(xiàn) 時(shí)，f（x）取得最小值為

5

＜

9

4

，當(dāng)P與B或C重合時(shí)，f（x）取得最大值為

2

+1＞

9

4

．g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)，而由題意可得 f（x）=

9

4

的解有2個(gè)，從而得出結(jié)論．

解答：解：由題意可得 函數(shù)f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，當(dāng)A、P、F共線(xiàn) 時(shí)，f（x）取得最小值為

5

＜

9

4

，當(dāng)P與B或C重合時(shí)，f（x）取得最大值為

2

+1＞

9

4

．
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=

9

4

．故函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）=

9

4

的解的個(gè)數(shù)．
而由題意可得 f（x）=

9

4

的解有2個(gè)，
故答案為 2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．