【題目】四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)AP=1,AD= ,三棱錐P﹣ABD的體積V= ,求二面角D﹣AE﹣C的大。

【答案】
(1)證明:連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO,

∵ABCD為矩形,∴O為BD的中點(diǎn),

又E為的PD的中點(diǎn),∴EO∥PB,

EO平面AEC,PB平面AEC,

∴PB∥平面AEC


(2)解:∵PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,

∴AB,AD,AP兩兩垂直,

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,

∵AP=1,AD= ,三棱錐P﹣ABD的體積V= ,

∴三棱錐P﹣ABD的體積 ,得

則A(0,0,0),D(0, ,0),B( ,0,0),E(0, ),C ( , ,0),

=(0, ), =( , ,0)

設(shè) 為平面ACE的法向量,

,即 ,令x=1,得 , ,則 =(1, , ),

為平面DAE的法向量,

∴cos< >= ,

如圖可得二面角D﹣AE﹣C為銳角,∴二面角D﹣AE﹣C為


【解析】(1)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO,由已知可得EO∥PB,然后利用線面平行的判定可得PB∥平面AEC;(2)由PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,可得AB,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,再由三棱錐P﹣ABD的體積V= 求得AB,得到A,D,B,E,C的坐標(biāo),然后求出平面ACE與平面DAE的法向量,由兩法向量所成角的余弦值求得二面角D﹣AE﹣C的大。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能得出正確答案.

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