Question

已知f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x）的極大值大于-

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．g′（x）=

1

x

-2a．當(dāng)a≤0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)a＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得：當(dāng)x=

1

2a

，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個(gè)不同解，只需要g（

1

2a

）＞0，解得即可；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，且0＜x₁＜

1

2a

＜x₂，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．求出f（x₁）和f（x₂），化簡并運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=

1

2a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2a

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

2a

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

1

2a

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時(shí)，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則g（

1

2a

）=ln

1

2a

＞0，解得0＜a＜

1

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

1

2

）；
（Ⅱ）證明：設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
∵0＜x₁＜

1

2a

＜x₂，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）＜x₁（-ax₁）=-ax₁²＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞1×（a×

1

2a

-1）=-

1

2

．（

1

2a

＞1）．
故f（x）的極大值大于-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．