Question

A地某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長(zhǎng)到B地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，為便于管理，所有人員必須
乘坐在同一列火車(chē)上；根據(jù)報(bào)名人數(shù)，若都買(mǎi)一等座單程火車(chē)票需17010元，若都買(mǎi)二等座單程火車(chē)票且花錢(qián)最少，則需11220元；已知學(xué)生家長(zhǎng)與教師的人數(shù)之比為2：1，從A到B的火車(chē)票價(jià)格（部分）如下表所示：

運(yùn)行區(qū)間		公布票價(jià)		學(xué)生票
上車(chē)站	下車(chē)站	一等座	二等座	二等座
A	B	81（元）	68（元）	51（元）

（1）參加社會(huì)實(shí)踐的老師、家長(zhǎng)與學(xué)生各有多少人？
（2）由于各種原因，二等座火車(chē)票單程只能買(mǎi)x張（x小于參加社會(huì)實(shí)踐的人數(shù)），其余的須買(mǎi)一等座火車(chē)票，在保證每位參與人員都有座位坐的前提下，請(qǐng)你設(shè)計(jì)最經(jīng)濟(jì)的購(gòu)票方案，并寫(xiě)出購(gòu)買(mǎi)火車(chē)票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）請(qǐng)你做一個(gè)預(yù)算，按第（2）小題中的購(gòu)票方案，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)單程火車(chē)票至少要花多少錢(qián)？最多要花多少錢(qián)？

Answer 1

分析：（1）設(shè)參加社會(huì)實(shí)踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長(zhǎng)有2m人，若都買(mǎi)二等座單程火車(chē)票且花錢(qián)最少，則全體學(xué)生都需買(mǎi)二等座學(xué)生票，根據(jù)題意得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）有兩種情況：①當(dāng)180≤x＜210時(shí)，學(xué)生都買(mǎi)學(xué)生票共180張，（x-180）名成年人買(mǎi)二等座火車(chē)票，（210-x）名成年人買(mǎi)一等座火車(chē)票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②當(dāng)0＜x＜180時(shí)，一部分學(xué)生買(mǎi)學(xué)生票共x張，其余的學(xué)生與家長(zhǎng)老師一起購(gòu)買(mǎi)一等座火車(chē)票共（210-x）張，得到解析式是y=-30x+17010；
（3）由（2）小題知，當(dāng)180≤x＜210時(shí)，y=-13x+13950和當(dāng)0＜x＜180時(shí)，y=-30x+17010，分別討論即可．

解答：解：（1）設(shè)參加社會(huì)實(shí)踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長(zhǎng)有2m人，若都買(mǎi)二等座單程火車(chē)票且花錢(qián)最少，則全體學(xué)生都需買(mǎi)二等座學(xué)生票，依題意得：

81(3m+n)=17010 68×3m+51n=11220

，
解得

m=10 n=180

，則2m=20．
答：參加社會(huì)實(shí)踐的老師、家長(zhǎng)與學(xué)生各有10、20與180人．
（2）由（1）知所有參與人員總共有210人，其中學(xué)生有180人，
①當(dāng)180≤x＜210時(shí)，最經(jīng)濟(jì)的購(gòu)票方案為：
學(xué)生都買(mǎi)學(xué)生票共180張，（x-180）名成年人買(mǎi)二等座火車(chē)票，（210-x）名成年人買(mǎi)一等座火車(chē)票．
∴火車(chē)票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），
即y=-13x+13950（180≤x＜210）；
②當(dāng)0＜x＜180時(shí)，最經(jīng)濟(jì)的購(gòu)票方案為：一部分學(xué)生買(mǎi)學(xué)生票共x張，其余的學(xué)生與家長(zhǎng)老師一起購(gòu)買(mǎi)一等座火車(chē)票共（210-x）張．
∴火車(chē)票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=51x+81（210-x），即y=-30x+17010（0＜x＜180）
（3）由（2）小題知，
當(dāng)180≤x＜210時(shí)，y=-13x+13950，由此可見(jiàn)，當(dāng)x=209時(shí)，y的值最小，最小值為11233元，當(dāng)x=180時(shí)，y的值最大，最大值為11610元．
當(dāng)0＜x＜180時(shí)，y=-30x+17010，由此可見(jiàn)，當(dāng)x=179時(shí)，y的值最小，最小值為11640元，當(dāng)x=1 時(shí)，y的值最大，最大值為16980元．
∴可以判斷按（2）小題中的購(gòu)票方案，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)單程火車(chē)票至少要花11233元，最多要花16980元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．