Question

9．已知x，y為正實數(shù)，滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值為18．

Answer 1

分析 首先左邊是xy的形式右邊是2x+y和常數(shù)的和的形式，考慮把右邊也轉(zhuǎn)化成xy的形式，使形式統(tǒng)一．可以猜想到應(yīng)用基本不等式，轉(zhuǎn)化后變成關(guān)于xy的方程，可把xy看成整體換元后求最小值

解答 解：由條件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2$\sqrt{2xy}$+6，
令xy=t²，即 t=$\sqrt{xy}$＞0，可得t²-2$\sqrt{2}$t-6≥0．
即得到（t-3$\sqrt{2}$）（t+$\sqrt{2}$）≥0，可解得t≤-$\sqrt{2}$或t≥3$\sqrt{2}$．
又注意到t＞0，故解為t≥3$\sqrt{2}$，
所以xy≥18．
故答案為：18．

點評 本題主要考查了用基本不等式解決最值問題的能力，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．