Question

已知向量

OA

=

a

=（cosα，sinα），

OB

=

b

=（2cosβ，2sinβ），

OC

=

c

=（0，d）（d＞0），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且0＜α＜

π

2

＜β＜π．
（1）若

a

⊥（

b

-

a

），求β-α
（2）若

OB • OC

| OC |

=1，

OA • OC

| OC |

=

3

2

，求△OAB的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）兩個向量垂直的充要條件是這兩個向量的數(shù)量積為0，將

a

和（

b

-

a

）用坐標(biāo)表示，求其數(shù)量積，再倒用兩交差的余弦公式即可．
（2）由題意可得

OA

•

OB

=

3

2

，即1×2×cos∠AOB=

3

2

，求得cos∠AOB的值，可得sin∠AOB的值，從而求得△OAB的面積S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB 的值．

解答： 解：（1）∵

a

⊥（

b

-

a

），∴

a

•（

b

-

a

）=

a

•

b

-

a

2=2cosαcosβ+2sinαsinβ-1=2cos（α-β）-1=0，
即cos（α-β）=

1

2

，即cos（β-α）=

1

2

．
再結(jié)合0＜α＜

π

2

＜β＜π，∴0＜β-α＜π，可得β-α=

π

3

．
（2）由題意可得，|

OA

|=1，|

OB

|=2，
∵

OB • OC

| OC |

=1，

OA • OC

| OC |

=

3

2

，相乘可得

OA

•

OB

=

3

2

，即1×2×cos∠AOB=

3

2

，
∴cos∠AOB=

3

4

，
∴sin∠AOB=

13

4

，
∴△OAB的面積S=

1

2

|

OA

|•|

OB

|•sin∠AOB=

1

2

×1×2×

13

4

=

13

4

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和三角變換公式的應(yīng)用，解題時要耐心細(xì)致，認(rèn)真觀察，屬于基礎(chǔ)題．