Question

已知

a

=(2cos2x，1)，

b

=（1，2

3

sinxcosx+m）（x∈R，m∈R，m是常數(shù)）且y=

a

•

b

．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求m的值；
（3）求f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積以及兩角和的正弦公式化簡f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+m+1．
（2）由題意可得，2sin（2x+

π

6

）+m+1的最大值為4，由此求得m的值．
（3）根據(jù)f（x）解析式求得它的最小正周期為T=

2π

2

=π，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）∵由題意可得y=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx+m=cos2x+

3

sin2x+m+1=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
即 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
（2）由上可得，2sin（2x+

π

6

）+m+1的最大值為4，故m=1．
（3）f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得  kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
故單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．