Question

設函數f（x）=

1-a

2

x2+ax-lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（2）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）可得函數定義域，解出f'（x）=0，得x=1．然后考慮在1左右兩側導數符號，由極值定義可求；
（2）化簡可得f′（x）=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，按照兩根

1

a-1

與1的大小關系討論，在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞），
當a=1時，f(x)=x-lnx， f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
令f'（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值．
（2）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，
當

1

a-1

=1，即a=2時，f′(x)=-

(x-1)2

x

≤0， f(x)在(0，+∞)上是減函數；
當

1

a-1

＜1，即a＞2時，令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1，令f'（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1，
當

1

a-1

＞1，a＜2時與已知矛盾，舍，
綜上，當a=2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；當a＞2時，f(x)在(0，

1

a-1

)和(1，+∞)上單調遞減，在(

1

a-1

，1)上單調遞增；

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性，考查分類討論思想，導數是解決函數的有力工具，應重點掌握．