Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，設M是底面ABC內的點，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是三棱錐M-PAB，三棱錐M-BPC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（

1

2

，x，y），則

1

x

+

1

y

最小值為

8

．

Answer 1

分析：由圖可知：V_{三棱錐P-ABM}+V_{三棱錐P-BCM}+V_{三棱錐P-ACM}=V_{三棱錐P-ABC}，進而得出x+y=

1

2

，再利用基本不等式的性質即可．

解答：解：由圖可知：V_{三棱錐P-ABM}+V_{三棱錐P-BCM}+V_{三棱錐P-ACM}=V_{三棱錐P-ABC}，
∴

1

2

+x+y=

1

3

×

1

2

×3×2×1，
∴x+y=

1

2

．（x＞0，y＞0）．
∴

1

x

+

1

y

=2(x+y)(

1

x

+

1

y

)=2(2+

y

x

+

x

y

)≥2×(2+2

y x × x y

)=8，當且僅當

y

x

=

x

y

，即x=y=

1

4

時取等號．
故答案為8．

點評：由已知得出x+y=

1

2

和利用基本不等式的性質是解題的關鍵．