Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到C′點，且C′在平面ABD上的射影O恰在AB上.?

（1）求證：BC′⊥平面AC′D;?

（2）求點A到平面BC′D的距離；?

（3）求直線AB與平面BC′D所成角的大小.

Answer 1

（1）證明：∵點C′在平面ABC上的射影O在AB上，∴C′O⊥?平面ABD，故斜線BC′在平面ABD上的射影為AB.∵DA⊥AB，∴DA⊥BC′(三垂線定理）.?

又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D.?

∵DA∩C′D=D,∴BC′⊥平面AC′D.?

（2）解析：如圖所示，過A作AH⊥C′D于H，∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AH.?

∴AH⊥平面BC′D.故AH的長就是A點到平面BC′D的距離.?

∵DA⊥AB，DA⊥BC，∴DA⊥平面ABC′.∴DA⊥AC′.?

在Rt△AC′B中，?

AC′=，?

在Rt△BC′D中，C′D=CD=.?

在Rt△C′AD中，由面積關(guān)系，得AH=,即點A到平面BC′D的距離.?

另法：（等積代換法）點A到平面BC′D的距離看成以A為頂點，以△BC′D為底面的三棱錐的高，利用等積代換思想有V_A—BC′D =V_C′—ABD?.設(shè)點A到平面BC′D的距離為d,又?C′D?⊥面ABD,?

∴C′O是三棱錐C′—ABD的高.?

∴S_△BC′D?·d=S_△ABD?·C′O.?

∴d=.?

由平面圖形和立體圖形知BC′⊥C′D,??

∴C′B=BC=3,C′D=AB=.?

∴BD==6.?

∴S_△BC′D?=×3×3.?

又∵DA⊥AB于A，?

∴DA=3，AB=3.?

∴S_△ABD?=×3×3.?

又由（1）知C′B⊥平面AC′D，?

∴C′B⊥C′A.?

又AB=3，C′B=3，∴C′A=.?

∴C′O=.?

∴d=.?

∴點A到平面BC′D的距離為.?

（3）解析：連結(jié)BH，?

∵AH⊥平面BC′D，?

∴BH是AB在平面BC′D上的射影.故∠ABH就是直線AB與平面BC′D所成的角.?

在Rt△AHB中，sin∠AHB=.?

∴∠AHB=arcsin.?

∴直線AB與平面BC′D所成角的大小為arcsin.